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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.15.
Analizar en que ítems se puede usarse la regla de L'Hopital. Resolver cada límite con el método adecuado.
j) $\lim _{x \rightarrow 1}(2 x-1)^{\cot (x-1)}$
j) $\lim _{x \rightarrow 1}(2 x-1)^{\cot (x-1)}$
Respuesta
Queremos resolver este límite: $\lim _{x \rightarrow 1}(2 x-1)^{\cot (x-1)}$
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Dejame que reescriba un poco el exponente para que quede más claro:
$\lim _{x \rightarrow 1}(2 x-1)^{\frac{\cos(x-1)}{\sin(x-1)}}$
Ahora seguro te resuelte más obvio que, cuando $x$ tiende a $1$, estamos frente a una indeterminación de tipo "1 elevado a infinito". Bueno, procedemos con la misma "receta" que aprendimos en la práctica de Límites:
$\lim _{x \rightarrow 1}[1 + (2 x-1) -1 ]^{\frac{\cos(x-1)}{\sin(x-1)}} = \lim _{x \rightarrow 1}[1 + (2 x-2) ]^{\frac{\cos(x-1)}{\sin(x-1)}}$
Ya tenemos adentro del corchete algo de la forma "1 + algo que tiende a cero", entonces ahora agregamos lo que necesitamos en el exponente: El "algo" dado vuelta...
$\lim _{x \rightarrow 1}[1 + (2 x-2) ]^{[\frac{1}{2x-2} \frac{(2x-2)}{1}\frac{\cos(x-1)}{\sin(x-1)}]}$
Perfecto, ya tenemos toda una parte que sabemos que tiende a $e$... Ahora nos fijamos en un cálculo auxiliar a donde tiende el resto del exponente, es decir:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2x-2)\cos(x-1)}{\sin(x-1)}$
Para resolver este límite, usamos L'Hopital ya que estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero". Si derivas arriba y abajo, y después tomás límite, vas a llegar a...
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2\cos(x-1) - (2x-2) \sin(x-1)}{\cos(x-1)} = 2$
Por lo tanto, el límite original nos da...
$\lim _{x \rightarrow 1}(2 x-1)^{\cot (x-1)} = e^2$