Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 CABANA

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Regla de L'Hopital

Anterior Siguiente
4.15. Analizar en que ítems se puede usarse la regla de L'Hopital. Resolver cada límite con el método adecuado.
j) lim⁡x→1(2x−1)cot⁡(x−1)\lim _{x \rightarrow 1}(2 x-1)^{\cot (x-1)}

Respuesta

Queremos resolver este límite: lim⁡x→1(2x−1)cot⁡(x−1)\lim _{x \rightarrow 1}(2 x-1)^{\cot (x-1)}

Dejame que reescriba un poco el exponente para que quede más claro:

lim⁡x→1(2x−1)cos⁡(x−1)sin⁡(x−1)\lim _{x \rightarrow 1}(2 x-1)^{\frac{\cos(x-1)}{\sin(x-1)}}

Ahora seguro te resuelte más obvio que, cuando xx tiende a 11, estamos frente a una indeterminación de tipo "1 elevado a infinito". Bueno, procedemos con la misma "receta" que aprendimos en la práctica de Límites:

lim⁡x→1[1+(2x−1)−1]cos⁡(x−1)sin⁡(x−1)=lim⁡x→1[1+(2x−2)]cos⁡(x−1)sin⁡(x−1)\lim _{x \rightarrow 1}[1 + (2 x-1) -1 ]^{\frac{\cos(x-1)}{\sin(x-1)}} = \lim _{x \rightarrow 1}[1 + (2 x-2) ]^{\frac{\cos(x-1)}{\sin(x-1)}}

Ya tenemos adentro del corchete algo de la forma "1 + algo que tiende a cero", entonces ahora agregamos lo que necesitamos en el exponente: El "algo" dado vuelta... 

lim⁡x→1[1+(2x−2)][12x−2(2x−2)1cos⁡(x−1)sin⁡(x−1)]\lim _{x \rightarrow 1}[1 + (2 x-2) ]^{[\frac{1}{2x-2} \frac{(2x-2)}{1}\frac{\cos(x-1)}{\sin(x-1)}]}

Perfecto, ya tenemos toda una parte que sabemos que tiende a ee... Ahora nos fijamos en un cálculo auxiliar a donde tiende el resto del exponente, es decir:

lim⁡x→1(2x−2)cos⁡(x−1)sin⁡(x−1)\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2x-2)\cos(x-1)}{\sin(x-1)}

Para resolver este límite, usamos L'Hopital ya que estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero". Si derivas arriba y abajo, y después tomás límite, vas a llegar a...

lim⁡x→12cos⁡(x−1)−(2x−2)sin⁡(x−1)cos⁡(x−1)=2\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2\cos(x-1) - (2x-2) \sin(x-1)}{\cos(x-1)} = 2

Por lo tanto, el límite original nos da...

lim⁡x→1(2x−1)cot⁡(x−1)=e2\lim _{x \rightarrow 1}(2 x-1)^{\cot (x-1)} = e^2

Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.